----- Hinweise zu INVESTOR ----- INVESTOR berechnet einen effektiven Zins auf Basis der Methode des internen Zinsfusses. INVESTOR ist auch auf Kredite anwendbar. Die Daten lassen sich z.B. mit Hilfe einer Checkliste (siehe Anhang) erfassen. (Wobei aber für Kredite mit Raten, die eine Konstanttilgung enthalten noch Informationen zum Nominalzins und dem zinsbestimmenden Kredit- volumen erforderlich sind.) Display von INVESTOR: Auflistung der Eingabe. Pro Kapitalflussvorgang: - Betrag - Wochentag, Datum - Anzahl - Ratenabstand - Nominalzins (bei Raten mit Konstanttilgung) - Bezugskredithöhe (bei Raten mit Konstanttilgung) Danach wird die Eingabe nocheinmal tabellarisch aufgelistet und anschliessend die effektive Kapitalflussrendite pro Jahr ausgegeben - exakter Effektivzins - Investitionskennzahl - Desinvestitionskennzahl - Liquiditaetskennzahl[index]
Beispiel: disagiofreier Kredit DM 60000, ausgezahlt am 1.1.1987, Restschuld am 31.12.1988: DM 37950.49 Raten: 24 x DM 1200, erste Monatsrate am 1.1.1987 Kreditgebühr: DM 300 am 1.1.1987 und monatlich DM 2.75 (Als Nominalzins wurden 6%p.a. angegeben, als Effektiv- zins nach PAngV 7.19%.) Eingabe: Startdatum: 010187 Stopdatum: 311288 Eingabeblock 1: Betrag: -60000 1.Rate: 010187 (oder "0" bzw. ENTER-Taste als Kurzeingabe) Anzahl: 1 Eingabeblock 2: Betrag: 1202.75 1.Rate: 010187 (dto.) Anzahl: 24 Abstand:1 nom.Zs%:0 (weil Konstantraten und nicht Konstanttilgung) Eingabeblock 3: Betrag: 37950.49 1.Rate: 311288 (oder als Kurzeingabe: "1") Anzahl: 1 Eingabeblock 4 Betrag: 300 1.Rate: 010187 (oder "0" etc.) Anzahl: 1 Eingabeblock 5 Betrag: 0 Ergebnis: 7.62%[index]
----- Bedienung von INVESTOR -----
(1) Programm starten
(2) Anfangsdatum des Betrachtungszeitraums eingeben (1980-2079)
(3) Enddatum des Betrachtungszeitraumes eingeben
(4) bis zu 20 Kapitalbewegungen können nun angegeben werden:
(4a) DM-Betrag
- negativ, wenn Investitions-Aufstockung
- positiv, wenn Erlös
- wenn "0", dann Ende der Eingabe, -->(5)
- wenn "<", dann Korrektur der letzten Eingabe
(CASIO: "9E99")
(4b) Datum dieser Kapitalbewegung (oder der ersten Rate
im Fall einer Aufteilung in periodische Raten)
- im Format DDMMJJ
- "0" = Anfangsdatum
- "1"-"9" = Enddatum
(4c) Anzahl der Betraege von (4a)
(4d) im Fall periodischer Raten (wenn Anzahl (4c) > 1)
- Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden
Raten (in Monaten)
- nomineller Ratenperiodenzins <> 0% (wenn Raten
Konstanttilgung sind)
- Bezugskredithöhe (wenn Raten Konstanttilgung sind)
(5) Tabellarische Auflistung der Eingabe wird angezeigt
(6) Ergebnisse abwarten. Nach Iteration:
- Effektivzins bzw. Kapitalflussrendite
- Investitionskennzahl (I): Verfügbarkeit des Investitionskapitals
für die Investition waehrend der Investitionsdauer
- Desinvestitionskennzahl (D): Verfügbarkeit des Ertrags aus der
Investition für den Investor waehrend der Investitionsdauer
- Liquiditaetskennzahl (I-NI-D+ND)/(I+NI+D+ND)*100%
I = Investition, NI = Nicht-Investition
D = Desinvestition (Ertrag), ND = Nicht-Desinvestition
[index]
--------------------------------- INVESTOR -----------------------------------
INVESTOR (C)1988 Götz Kluge
--- Betrachtungszeitraum ---
010100 Start DDMMJJ? 010185
010100 Stop DDMMJJ? 311289
1.Kapitalfluss-Ereignis
0.00 DM Betrag ? -100000
010185 DDMMJJ Rate1?
0.00 Anzahl ? 1
2.Kapitalfluss-Ereignis
0.00 DM Betrag ? 10100
010185 DDMMJJ Rate1?
0.00 Anzahl ? 1
3.Kapitalfluss-Ereignis
0.00 DM Betrag ? 550.63
010185 DDMMJJ Rate1?
0.00 Anzahl ? 60
0.00 Mon. Abstand? 1
0.00 %/R nom.Zins?
4.Kapitalfluss-Ereignis
0.00 DM Betrag ? 94531
010185 DDMMJJ Rate1? 9
0.00 Anzahl ? 1
5.Kapitalfluss-Ereignis
0.00 DM Betrag ?
DM DDMMJJ x Mte
-100000.00 Di010185 1 -
10100.00 Di010185 1 -
550.63 Di010185 60 1
94531.00 So311289 1 -
Zins: 8.56%eff/J
100% Investition verfügbar
20% Ertrag verfügbar
77% Liquiditaet (N)eu (E)nd
[index]
------ Literatur ------
AIBD (10) Standard Method of Calculating Yields for International Bonds
Association of International Bond Dealers (AIBD), Zürich
BANKFEIN (27) Handlödken/Venske, Feine Gesellschaft. Ihre Bank. Unser
Geld, Hamburg 1984
BANKUMGA (29) R.K.Grosjean, Umgang mit Banken, München 1986
BAUFNZ1 (2) test spezial 1/85 "Baufinanzierung", Stiftung Warentest
BAUFNZ2 (30) test Sonderheft Nr.8805, "Baufinanzierung", Stiftung
Warentest, insbes. S.9-10, S.63 (Berlin 9.1988)
BAUHERR (8) DER SPIEGEL 29/86, "Schröpfen die Banken Bauherren?", S.81
BGB (19) 362 BGB
BGH XI ZR 275/89, Urteilsspruch Juli 1990
BLINDKUH (3) Capital 2/85, "Blinde Kuh", S.34-35
DM199010 DM 10/1990, "Freuen Sie sich auf Ihren Scheck", S.20
EFFZNSDU (11) Capital 10/86, "Dunkelziffer","Effektivzins: Die
Nebeltaktik der Banken", S.185
EFFZNSGK (16) Götz Kluge, Effektivzinsen ohne Nebel
c't Magazin für Computertechnik, 12/1986, S.98ff
EFFZNSWA (32) E.Wagner, Effektivzinsen von Krediten und Wertpapieren,
Frankfurt 1988
FMATHBWL (13) Magnus Radke, d. grosse betriebswirtschaftliche Formelsammlung
FMATHCG (14) Caprano/Gierl, Finanzmathematik
FMATHHP (21) Hewlett-Packard, Handbücher zu den Rechnern 18CD und 12C
FMATHKOE (4) Köhler, Finanzmathematik
FMATHSPA (25) Deutscher Sparkassenkalender 1987, S.449ff
FMATHTAB (22) K.D.Daeumler, Finanzmathematisches Tabellenwerk,
Herne/Berlin 1983
INGMATH (17) Jan J. Tuma, Engineering Mathematics Handbook
S.94/95, Mc Graw Hill
INVSTGRU (12) K.D.Daeumler, Grundlagen d. Investitions- u.
Wirtschaftlichkeitsrechnung
INVSTLEX (15) Wolfgang Lücke, Investitionslexikon
KREDITGS Jaehrig/Schluck, Rösler/Woite, Handbuch des Kreditgeschaefts,
Wiesbaden 1988 (insbes. S.153 - 154)
KREDITWS (28) Grill/Perczynski, Wirtschaftslehre des Kreditwesens, 1986
MATHENZY (1) Kleine Enzyklopaedie der Mathematik, Leipzig 1979, S.149-155
PANGBLA (6) Bund-Laender-Ausschuss "Preisangaben",
Ausführungshinweise zur 4 PAngV, 13.6.1985
PANGV (5) Verordnung zur Regelung der Preisangaben vom 14.Maerz 1985
RECHNFNZ (31) Volker Looman, Richtig rechnen bei Finanzgeschaeften
RECHNKRD (9) Ashauer, Rechnen in Kreditinstituten,
Dt. Sparkassenverlag, Bonn 1983
SUPERCLC (24) Gassner, Bankkundenberatung mit SuperCalc,
Wiesbaden 1985, S.101
VERBRAU (26) test 4/87, Verbraucherschutz ausgetrickst,
S.14ff (lfd.S.318ff)
WERTSTLG (7) Capital 6/86, "Wertstellung", S.42-43, S.109
WERTSTLU (18) Landgericht Stuttgart, Urteil vom 30.9.1986
z. Gesch.nr. 26-0-251/86
ZINSABRE (20) Süddeutsche Zeitung 26.11.1986, "Viel Wirbel um die
Zinsabrechnung", S.31
ZINSSTLG (23) Endrik Kosfeld, Zahlungsverkehr und Zinserfolgsrechnung
Frankfurt 1985
(x) = Reihenfolge der Heranziehung
[index]
-------------- INVESTOR ---------------
----- Checkliste: Kapitalflussbestandteile eines Kredites -----
----------------------------------------------------------
I Bezeichnung I Betrag I 1.Zahlung I Anzahl I Abstand I
I I DM I DD/MM/JJ I n I Monate I
----------------------------------------------------------
I Kredit I- . I / / I 1 I 0 I
I Disagio I+ . I / / I 1 I 0 I
I Raten (Z+T) I+ . I / / I I I
I Restschuld I+ . I / / I 1 I 0 I
I Krd.Gebühr I+ . I / / I 1 I 0 I
I Jhr.Gebühr I+ . I / / I I 12 I
I Mtl.Gebühr I+ . I / / I I 1 I
I Ratengebühr I+ . I / / I I I
I I . I / / I I I
I I . I / / I I I
----------------------------------------------------------
Beispiel: Erfassung der Daten eines Ratenkredites zur Eingabe in INVESTOR
----- Kleinkredit bzw. Anschaffungsdarlehen -----
Wer Anschaffungsdarlehen berechnen will, findet hier nun die entsprechenden
Formeln. Zur Berechnung des Effektivzinses ist aber die Berechnung des in-
ternen Zinsfusses (INVESTOR.BAS) besser geeignet als die PAngV-Formel für
Anschaffungsdarlehen.
Restschuldformel:
RS = ((ZM-1)*NR+1)*(K+GE)-RT*NR
RT = Rate
NR = Anzahl der Raten
K = Auszahlungsbetrag
GE = einmalige Gebühr
ZM = nomineller Monatsaufzinsungsfaktor
RS = Restschuld (ist i.d.R. 0)
Ausserdem (um volle DM-Raten zu errechnen):
RA = 1.Rate = RN+NR*(RT-RN)
RN = 2.Rate bis letzte Rate = INT(RT)
Effektivzinsberechnung (PAngV, nicht mehr gültige "Bankformel"):
0=ZE^J/((12/(ZE-1)+11/2)*(ZE^J-1)+(1+(ZE-1)*(NX-1)/24)*NX/(1+NX/12*(ZE-1)))
-(ZM-1)-(1+GE/K)/NR
J = INT(NR/12)
NX = NR-J*12
ZE = effektiver und jaehrlicher Aufzinsungsfaktor
(Effektivzinssatz/100+1)
andere Variablen s.o.
[index]
Annuitaetskredit (Ratenkredit): Effektivzinsberechnung im Zusammenhang
mit der PAngV (nicht mehr gültige "Bankformel"):
(I) 0=(K*ZE^J-RT*(NJ+(ZE-1)*(NJ-1)/2)*(ZE^J-1)/(ZE-1))
(II) *(1+NX*(ZE-1)/NJ)
(III) -RT*NX*(1+(NX-1)*(ZE-1)/2/NJ)-RS
K = Auszahlungsbetrag
ZE = effektiver Jahresaufzinsungsfaktor
J = INT(NR/NJ)
NJ = Anzahl der Raten pro Jahr
RT = Rate ("mathematischer Durchschittswert")
NR = Anzahl der Raten
N = Anzahl der Raten in der Restlaufzeit
NX = NR-J*NJ = Anzahl der Raten in der Restlaufzeit
= R1+R3 (siehe Programmzeilen 36 und 37)
(I) soll die Verhältnisse waehrend der in vollen Jahren ausdrückbaren
Vertragsdauer beschreiben.
(II) ergibt multipliziert mit (I) einen Tilgungszustand
an, wie er ohne Zahlung der Restraten zum Vertragsende (Ende
der Zinsbindung) gültig waere.
(III) stellt diesem Zustand den Anspruch des Kreditgebers auf
die Restraten und die Restschuld entgegen.
[index]
----- interner Zinsfuss -----
k
----,
\
s(q) = >f (q)
/ n
----'
n=0
q = interner Zinsfaktor = 1 + interner Zinsfuss
f(q) = Funktion von q
s(q) = Summe der f(q)
übliche Definition: s(q)=0 (Zahlungen im Gleichgewicht)
f(q)=c*q^t
c = Zahlung, Wert eines einzelnen Kapitalflussvorgangs
t = Zeit bis zum Ende des zu untersuchenden
Betrachtungszeitraumes. Die Einheit von t ist
haeufig "Jahr" oder aber allgemein "Zinsperiode".
Es kann auch gelten: c=c(q) z.B. bei der Umrechnung von
Ratenzahlungen als Funktion von q in einen Endwert c.
In einer folgenden "Kapitalfluss-Formel" ist dies in einer Form
ausgefaehrt, die besonders bei Kreditbewertungen hilfreich
ist.
Sind mehrere Kapitalflussvorgaenge miteinander in s(q) zusammen-
zufassen, dann ist auf alle Vorgaenge die gleiche Funktionen f(q)
anzuwenden. Der Vergleichbarkeit mit bestehenden Verfahren kommt
die Verwendung von Q aus der AIBD-Formel entgegen.
Gibt es mehrere Ergebnisse für den internen Zinsfuß, dann zählt
das niedrigste. (HIRSHLEIFER, J. (1958): On the theory of optimal
investment decision. Journal of Political Economy, 66, 329-352,
zit. in Price; COLIN (1993): Time, discounting and value. 1. Aufl.,
Oxford, Cambridge/MA: Blackwells., S. 42). Siehe "Logik des
Kapitals" in http://www.wu-wien.ac.at/usr/h86/h8653026/uni-docs/Zeit.html.
[index]
------ Kapitalfluss-Formel ------
k
-----, JD(i)*N(i)
\ ZE - 1 JV(i)
u = > RT(i) * ----------------- * ZE , ZE<>1
/ JD(i)
-----' ZE - 1
i=0
(ZE^N*JD-1)/(ZE^JD-1) =1 für JD=0
=N für ZE=1
u = 0, andere Werte in Ausnahmefaellen (siehe
ungleichgewichtiger interner Zinsfuss)
ZE = effektive Rendite (per anno Aufzinsungsfaktor, REAL)
k+1 = Anzahl der Kapitalflussereignisse (INTEGER)
i = Laufvariable 0<=i<=k (INTEGER)
JD(i) = Abstand zwischen den einzelnen gleichen Raten in einem
Kapitalflussereignis in Jahren (REAL)
JV(i) = Abstand zwischen dem Ende des Kapitalflussereignisses (letzte
Rate) und dem Ende der Investition (REAL)
N(i) = Anzahl der einzelnen gleichen Raten (REAL, i.d.Praxis INTEGER)
RT(i) = Betrag der einzelnen Rate (REAL)
[index]
Die Formel ist eine auf Ratenzahlungen zugeschnittene
Anwendung der Methode des internen Zinsfusses.
Die Summe der Endwerte aller "Kapitalflussereignisse" ist u. Im
Normalfall des Gleichgewichtes ist u = 0.
Eine solches Kapitalflussereignis wird von den folgenden Werten be-
schrieben:
- Betrag der Rate
- Datum der ersten Rate
- Anzahl N der Rate, wobei N auch 1 sein kann (Einzelbetrag)
- Abstand zwischen den Raten, wenn N>1
Kapitalflussereigniss wie dieses finden sich in Ratenkrediten. Das für
Tilgungskredite typische Kapitalflussereignis wird auf der naechsten Seite
beschrieben.
Hinweise zur iterativen Auflösung der o.g. Formel:
Iteration mit Tangentenverfahren nach Newton:
y=f(x), x(neu)=x(alt)-y(alt)/y'(alt), hier gilt als Lösungsansatz:
y = x^c*(x^a-1)/(x^b-1)
y' = (c*x^(c-1)*(x^a-1) + a*x^(a-1)*x^c - y*b*x^(b-1)) / (x^b-1)
y steht dabei für den Wert eines einzelnen(!) Zahlungsvorganges,
x für die Rendite (bzw. hier den Effektivzinsfaktor). Iteriert wird:
x(neu)=x(alt)-(y1(alt)+y2(alt)+...+yn(alt))/(y1'(alt)+y2'(alt)+...+yn'(alt))
Anwendungsgrenzen: keine oder mehrere Nullstellen (u=0). Das kommt in der
Kreditpraxis nicht vor. Wenn es vorkommt, bedeutet dies,
das der Kapitalflussvorgang nicht mit dem traditionellen
Zinsdenken erfasst werden kann. Es gibt auch Vorschläge,
daß man bei mehreren Lösungen (d.h. mehreren Zinsfak-
toren) den kleinsten Wert nimmt.
Dieses Verfahren wird in INVESTOR verwandt (und von einem anderen Ein-
schachtelungsverfahren abgelöst, wenn die Newton-Iteration "aus dem Ruder
laeuft").
[index]
----- Tilgungskredit: Kredit mit periodisch konstanter Tilgung -----
Voraussetzung: Der Zinsanteil Z in 1.Rate errechnet sich nach Z=KD*I.
Wenn die Annahme nicht zutrifft, so ist der Kredit durch eine
Aufteilung in 2 Kredite (KD1 mit einmaliger Rückzahlung und KD2
mit Ratentilgung) so anpassbar, dass die Voraussetzung gültig wird.
KD = Kreditbetrag
TL = Tilgungsrate
NM = KD/TL = maximale Anzahl der Rate
RT = (KD-N*TL)*I+TL = N-te Rate
RS = KD-N*TL = Restschuld nach N Raten
I = Zinsfuss (s.u.)
Endwert W der Ratensumme für den Empfänger, der aus den Raten die
Jahresrendite ZE gewinnen kann:
( ) N*JD
( TL * I ) ZE - 1 TL*I*N
W = ( KD*I + TL - ------ ) * --------- + ------
( JD ) JD JD
( ZE - 1) ZE - 1 ZE - 1
ZE=1: W=TL*N(1+I*(N+1)/2)
W = s.o. (kann als Summand in einer erweiterten Kapitalfluss
Formel dienen)
TL = Konstanttilgungsanteil der Rate
ZE = effektiver jährlicher Aufzinsungsfaktor
JD = Abstand (Jahre, REAL!) zwischen den einzelnen Raten
N = Gesamtzahl aller Raten, 1 <= N <= KD/TL
KD = Kreditbetrag (der Basis für Zinsberechnungen ist)
I = nomineller Zinsfuss der Ratenperiode
Wenn I=0 ist, dann wird diese Formel dem Ausdruck ähnlich, der uns
schon als Summand in der Kapitalfluss-Formel bekannt ist! (RT=TL)
[index]----- Definition von Liquiditätskennzahlen ----- Im folgenden wird eine Methode dargestellt, mit der sich Kennzahlen errech- nen lassen, die die Verfügbarkeit von Kapital (z.B. bei einem Kredit) be- schreiben: + Graph 1: Kapitalflüsse (Ein- und Auszahlungen) I I I I I I Investition I I I I I I I--------------------------------------> Zeit I I I I I I I I I Desinvestition I I I I - + Graph 2: Geld-Zeit-Flächen (Kapitalverfügbarkeit) I I----------------------------I--------. I B2 I . B2 = Nicht Investition I I--------------------------- . I I . I I A2 . A2 = Investition I I . I I + . I-------------------------------------> I - I------------ B1 . B1 = Desinvestition I I------------ . I I . I A1 I . A1 = Nicht-Desinvestition I I--- I I I I I I I-------------------------------------I -[index]
Liquiditätskennzahlen (Kluge, 1986):
- Kapitalverfügbarkeits-Kennzahl: (A1+A2-B1-B2)/(A1+A2+B1+B2)*100%
- Investitions-K.: A2/(A2+B2)*100%
- Nicht-Investitions-K.: B2/(A2+B2)*100%
- Nicht-Desinvestitions-K.: A1/(A1+B1)*100%
- Desinvestitions-K.: B1/(A1+B1)*100%
Bei positiven Raten gilt für A2 bzw. bei negativen Raten für B1:
- periodische Raten gleicher Höhe:
A2 bzw. B1 = RT*N*JV + RT*N*(N-1)*JD/2
- periodische Raten mit Konstanttilgung
A2 bzw. B1 = TL*N*JV*(1+I*(N+1)/2)
+ TL*N*(N-1)*JD/2
+ TL*I*((NM+1)-N*(N-1)/NM)*JD/2
A1 = GI - B1
B2 = GD - A2
RT = Rate (siehe Kapitalfluss-Formel)
TL = Konstanttilgung (siehe entsprechenden Kredit)
KD = Kreditbetrag (dto.)
I = nomineller Zinsfuss der Ratenperiode
NM = KD/TL
N = Anzahl der Raten
JV = Zeit zwischen letzter Rate und Ende des
Betrachtungszeitraumes (Jahre, REAL!)
JD = Zeitraum zwischen zwei Raten
UM = A1+A2+B1+B2 (gesamte Umsatz-Zeit-Fläche)
GI = Nettosumme aller Investitionen * Laufzeit
GD = dto. f. Desinvestitionen
Die Flächen A1, A2, B1 und B2 beschreiben gut, wann und welcher
Seite Geld zur Verfügung steht.
Die Geld-Zeit-Flächen können für die Näherungsformel nach
Boulding zur Berechnung des Effektivzinses einer Investition
verwendet werden (INVSTLEX, S.137/138), wovon INVESTOR bei der
Berechnung des Iterationsanfangswertes für ZE Gebrauch macht:
ZE0 = ABS(Su2/Su1) ^ 1/(A2/Su2-B1/Su1),
Su2=Investitionssumme, Su1=Desinvestitionssumme
[index]©1986 ©1996 Götz Kluge, to homepage